年,笛卡尔坐标几何的建立,改变了传统欧氏几何的研究方法,人们得以将几何曲线上的点和数建立起一一对应的关系,利用代数的方法来描述曲线的性质。然而,人们发现联系代数、分析和几何的笛卡尔坐标系统,在解决物理中的实际问题时显得繁琐而无力。笛卡尔坐标解决物理问题的局限性,促使人们产生修订和扩充坐标几何应用的想法。
早在年,莱布尼兹就已经发现了这个问题,他认为,“尽管笛卡尔的坐标系统将几何量转化成了代数方法的分析,但不是直接几何量之间的运算,有时是复杂的。这种把代数用于几何是一个正确的方法,但不是最好的”。在莱布尼茨思想的影响下,人们试图找出一种直接表达几何中位置、角和运动问题的方法。为了达到这一目的,必须同时考察有向线段大小和方向两个方面的性质,并找到有向线段之间的运算方法.1.复数的几何表示
复数和广义复数的几何表示也促进了向量概念的产生。复数产生于一元三次方程的求解问题。虽然卡尔丹于年求解一元三次方程时发现了负数的平方根并认为可把负数的平方根当作“似是而非”的数,可以把它们用于计算,但令他不解的是当一个三次方程的根全是实数时,却有负数的平方根出现在卡尔丹求根公式中。邦贝利在年进一步给出了根号-1的形式化定义和一些运算规则,并证明了卡尔丹公式。但是,由于缺乏几何的表示,当时受缚于传统几何学的数学家并不认为复数是正当的概念.因为他们不能理解这个令人惊奇的数,比如根号-1既不比0大,也不比0小,更不等于0.这就需要借助几何给复数一个解释。
直到两个世纪后的年,挪威测量员韦塞尔才正确地给出了复数的几何解释,他将复数对应于复平面的点,可用从原点到这个点的有向线段来表示(见本书的复数与三角卷),韦塞尔创造出一个新的几何研究方法。韦塞尔认为,方向的变化可由代数运算产生,也可以由它们的符号表达,并用有向线段的乘法定义了有向线段的平面旋转变换,它恰好对应于复数乘法的几何直观。
2.向量概念的产生
为了方便解决有向线段表示的力学问题,年,德国数学家格拉斯曼开始寻找一种直接用代数方法处理几何对象之间关系的系统。当时并没有给出“向量”名称,而是直接采取有向线段的形式创造了向量理论体系,并利用向量将三维空间理论扩张到了n维空间.
复数在物理学中的巨大作用启发人们寻找三维空间的“广义复数”。哈密尔顿论证了有序实数对(a,b)是复数a+ib的等价形式,他认为三维空间的复数应由三个有序数组(a,b,c)描述,其形式为a+bi+cj,但是一直不能给出这个三元数的乘法运算。年,他发现解决这个问题必须放弃乘法交换律,而且需要三个虚数单位,即四元数Q=a+bi+cj+dk.这个四元数的虚数部分表达了三维空间的有向线段。哈密尔顿首次引入“向量”这个词来表示有向线段,并将四元数记为Q=Scal.Q+Vect.Q。
年,麦克斯韦在其巨著《电磁通论》中开始用四元数来处理电动力学问题,他发现若干物理量彼此之间的关系用哈密尔顿的四元数表示比笛卡尔坐标系下的方程要简单得多。但是,麦克斯韦在应用中分开处理了四元数乘积的数量和向量部分。麦克斯韦的工作清楚表明,向量是物理的有效工具,而不是单纯的缩写方案,进而出现了大量的向量分析。
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