撰文
马立平
一个多月前，人教社小学数学教材的插画引起了热议。在此笔者拟指出小学数学教材中一个比插画更为严重的问题，即年以来，因为“取消被乘数和乘数的区别”而导致的算术算理体系的垮塌。
一套教材的插画若有问题，其影响毕竟只限于使用该版本教材的学生，影响的时间计十来年，一旦需要可以在数月内完成撤换。可是，因为取消被乘数乘数区别而导致的算术学科概念体系的垮塌，影响到的是二十多年里发行的所有版本的小学数学教科书，以及使用它们的所有学生。而且难以在短时间里纠正。
算理体系之“承重墙”被打掉
设想有一幢大楼，如果楼里某一间房刷错了颜色，重新粉刷并不算太困难；可是，如果为了局部的“美观”打掉了承重墙，那么，整幢大楼便岌岌可危矣！
把小学数学主要内容（整数和分数四则运算）的算理体系比作一幢大楼的话，乘法概念的算式表述“被乘数×乘数=积”，就是大楼的“承重墙”。因为除法是乘法的逆运算，分数又以整数为基础，所以，整数乘法的算理除了整数乘法本身以外，还支撑着整数除法、整数乘除混合运算、整数四则混合运算、分数乘法、分数除法、分数乘除混合运算、分数四则混合运算、整数和分数的四则混合运算等八大算理板块。整数乘法算理不明了清晰，建立于上的其他部分都无以为托。所以，对于小学数学的算理系统而言，“被乘数×乘数=积”就是它的“承重墙”。
令人痛心的是，年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《课标》）的一个规定，却把这座支撑着小学算术算理体系的“承重墙”打掉了。《课标》在“数的运算”部分，对乘法的意义作出新规定：
关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3。3×5读作3乘5，3和5都是乘数(也可以叫因数)。
这条不足五十个字、以注释形式出现的规定，否定了在我国使用了近百年的乘法算式表述以及它所代表的意义。这个改动非同小可——它打掉了支撑着大半壁算理体系的“承重墙”，将我国小学数学的整个算理体系，置于瓦解甚至坍塌的危局。随着按照《课标》要求编写的所有版本的《新世纪小学数学》课本在全国发行，“被乘数×乘数=积”这条经典的乘法概念算式表述，便从中国小学生数学课本里消失了，取而代之的是未经推敲的“因数×因数=积”或“乘数×乘数=积”。非常不幸，打掉“承重墙”后，终于出现了整个算理体系面临垮塌的后果。
以下对照《课标》颁布前后我国小学课本关于乘法概念算式表述的样本：
年人教社《数学》：
年人教社《数学》：
年天津教育出版社《数学》（北京、天津、上海、浙江小学数学教材联合编写组编写）：
年人教社《算术》：
算术算理体系的来源
“被乘数”、“乘数”这两个术语的英文原文分别是multiplicand和multiplier，最早出现于十六世纪后叶。十七世纪中页起在欧洲发行后再版过一百多次的《科克算术》，对算术学科雏形的建立和传播起到过重要的作用。《科克算术》里写着：
乘法有三个要素：被乘数、乘数、积。十八世纪大数学家欧拉，应沙皇皇后要求为俄国中学生撰写算术课本，也以此三要素讲授乘法。
十九世纪初，欧美普及小学教育运动方兴未艾，当时的一些大学数学教授，动手为小学生撰写算术课本。他们模仿欧几里得《原本》的组织方式，以“单位一”为初始原理，定义了两个最基本的数量关系——“两个数的和”与“两个数的积”。在此基础上构建起小学算术的算理体系，把在传统商用算术中各自为政的整数和分数四则运算法则，整合在一个完整、自洽、符合数学学科标准的算理体系里，由此创建了小学算术学科。从此，“被乘数×乘数=积”从单独的乘法定义，进一步提升为算理体系中的重要一环。
二十世纪初，中国始有现代小学数学课本，称为《算术》，正式使用被加数、加数、被减数、减数、被乘数、乘数、被除数、除数等齐整规范的术语，介绍四则运算。《算术》以小学算术学科为核心，辅以生活中常见的度量衡、初等几何等内容。八十年代初，《算术》更名为《数学》，仍采用“精选传统的算术内容”，“适当增加代数、几何的部分内容”，“渗透一些集合、函数、统计等数学思想”（见李润全等《小学数学教材60年回望》）。
从《算术》到《数学》，我国小学数学课本里乘法的算式表述，始终是国际通用的“被乘数×乘数=积”，直到年后被废除。
打掉“承重墙”的起因
是什么原因，导致要废除乘法意义的算式经典表述“被乘数×乘数=积”？废除之后，效果如何，当初废除的目的达到了吗？
年以前，我国小学数学教育中规定学生解答应用题列式时，须严格按照乘法概念表述式的顺序，把被乘数写在前面，把乘数写在后面。这个规定有助于学生在学习的早期就确立起乘法算理的概念，为今后的学习置下坚固的基石。
然而，列式时写对被乘数和乘数的位置却是教学中的一个难点。在解答应用题或实际生活中的问题时，学生（也包括家长甚至部分教师）的注意力往往集中在算出正确的得数，而忽略用规范的数学语言表达解题的思路。答题时，有些学生选用了乘法运算并且得数也对，却因为所列算式里被乘数乘数位置颠倒而被扣分，十分委屈。学生得分低了，教师和家长的荣誉心也受到打击。因此，乘法算式规定被乘数乘数位置的做法，受到“很多家长乃至专家的批评”，斥其“违反教育规律”，是“挫伤学生学习积极性”的“人为障碍”、造成了学生和家长“不必要的负担”和“心理压力“。一时间舆情汹涌。
为了“减轻教师和学生不必要的负担”，《课标》以“快刀斩乱麻”之势，干脆把“被乘数×乘数=积”这个乘法算式表述一举取消。人们相信，此番修改当能起到釜底抽薪的作用，减轻学生负担，提高他们学习数学的兴趣和信心，必将迎来“学生、教师、家长皆大欢喜”。
意想不到的后果
不料，“废除被乘数乘数区别”的规定开始实施之后，问题接踵而来。
自年起，学术期刊杂志上就不断有一线教师、教研人员和高校教授陆续发表论文，从数学概念、教学实践和教学理论各方面对这一修改提出质疑、批评和担忧。云南省保山市板桥镇中心小学的信息技术员范伟昌，在《新世纪小学数学教材》甫一出版时曾为“废除区别”大声叫好，发表网文《分清被乘数和乘数，究竟有什么意思》，赞此举将对学生的“成绩提高起到非常积极的作用”，被多家教育论坛转载。然而曾几何时，范先生去听了一堂乘数是两位数的乘法的教学课，随即追发另一篇网文《由取消乘数被乘数引出的——因数的困惑》，表示“深深感到全面废除被乘数和乘数概念，对数学教学来说也是一种失败”。
以下笔者列出“废除区别”造成的十项后果，凡已有文章发表过的观点，均直接从文章引述，其作者、标题及出处按出现顺序附在本文参考文献中。
一.整数乘法算理不清
《课标》前的小学数学课本引进乘法时，告诉学生5+5+5写成乘法算式5×3，相同加数连加的那个加数(5)是被乘数，写在乘号前面，相同加数的个数(3)是乘数，写在乘号后面，算式读作5乘以3。逻辑清楚，有章可循。《课标》后引进乘法，告诉学生5+5+5写成乘法算式时，可以写成5×3，也可以写成3×5。表面上，“犯错”的可能性小了，得分容易了，但是逻辑却是混乱的。而且，学生很快会发现，3+3+3+3+3也是既可以写成5×3，又可以写成3×5，这到底是怎么回事？要理解5+5+5=3+3+3+3+3，认知负担更加加重了。
湖北省洪湖市汊河第一小学卢杰老师在文章中写道：
被乘数和乘数不加区分，学生虽然学得轻松，教师教得容易了，但学生还是没有真正领会乘法的意义。如：求5个6是多少。列乘法算式是6×5或5×6都可以。加法算式表示是6+6+6+6+6或5+5+5+5+5+5，这样，学生对其意义含混不清，客观上为学生设置了学习障碍。缺乏数学的严谨性和科学性。
江苏省无锡市北塘区教育局教研室程继德研究员和积余实验学校陆晓蓉老师合著的文章里写道：
由于重新定义了乘法，取消了被乘数和乘数的区别，使得乘法意义的教学成为多余。使得有些教师认为在乘法应用题的教学中，只要让学生明白用乘法计算就可以了，没有必要讲究为什么要用乘法计算。用乘法解决问题不讲算理，就是让学生处于“知其然，不知其所以然”的境地，这显然是违背了我们教育的本意。再有，不根据原来乘法的意义来认识和理解乘法应用题，把要有根据、有条理地思考，变成了只要用乘法计算，不管如何思考都行，降低了思维的要求，不利于对学生思维品质的培养，这显然是违背了我们教育改革的本意。
减轻负担、提高自信的目的达到了吗？并没有。更糟糕的是，反而给理解乘法算理增加了难度。
二.乘法运算法则教学举步维艰
被乘数和乘数的区别取消后，还给乘法运算法则教学造成困扰。以下是程继德和陆晓蓉记录的情况：
原来教学两位数乘法时，需要叙述的算法是:先用乘数个位上的数去乘被乘数的每一位,积的末位写在个位上；再用乘数十位上的数去乘被乘数的每一位，积的末位写在十位上。现在如果都用乘数来叙述会指向不明,无法表达清楚。于是，现在教学时只好说用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数的每一位，积的末位写在个位上；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数的每一位，积的末位写在十位上。用第一个乘数代替了原来的被乘数，用第二个乘数代替了原来的乘数,与原来被乘数和乘数的名称相比反而更麻烦了。
同样的混乱，也出现在范伟昌所记录的一位老师讲解例题×47的课上：
由于废除了被乘数和乘数，老师只能说用因数47的个位去乘因数的每一位，再用因数47的十位去乘因数的每一位，然后把两次乘得的积加起来。老师在反复讲解过程中，经常把“因数47”后面的47说漏了，就变成了“因数的个位去乘因数的每一位”，让人感到十分的不严谨，让学生听起来十分困惑。
范文接着评论道：
这个尴尬的造成不是由于老师的水平造成的，也不是老师不加强教学业务学习造成的，而是由于新课标对“被乘数和乘数”概念全面废除的恶果。
请注意，年以来，像以上卢文和范文里所描述的困惑辛苦的场面，每年都发生在我国成千上万的课堂里。运算法则表述得这么吃力，更遑论探讨运算法则背后的算理，数位值和乘法对加法的分配律等了。
三.除法意义的建立失去基础
乘法算理不清，跟着受害的首先是与之密切相关的除法算理部分。
算术算理体系建立在两个最基本的数量关系之上：1）“两个数的和”；2）“两个数的积”。前者定义加法和减法这一对逆运算，后者定义乘法和除法这一对逆运算。任何一对逆运算，因为是由同一个数量关系定义的，它们所含数量项是共同的。由于这些数量项已知和未知的状态不同，决定运算的不同。
在乘法里，被乘数和乘数是已知的，积是未知的。在除法里，积反过来成为了已知数，也就是被除数；乘法中已知的被乘数或乘数，在除法里则轮流担当不同的角色：或作为已知数参与运算，或作为被求的未知数。这样的话，作为乘法逆运算的除法，就有了两种含义：
1）已知积与乘数，求被乘数，也就是求“每一份”是多少，称为“等分除”；
2）已知积与被乘数，求乘数，也就是求“多少份”，称为“包含除”：
如人教社版引入乘法的三组小熊气球，可以导出除法的两种含义：
“被乘数×乘数=积”有一个比较“亲民”的版本，就是“每份数×份数=总数”。后者不如前者那么概括，但可以帮助我们更容易理解除法和乘法的关系，读者不妨自行代入试试。
向小学生导入除法概念，《课标》前后的教材都是用“分东西”的活动。可是，同样是分东西的活动，一个有乘法概念作支撑，另一个没有。
在有乘法概念支撑的情况下，“分东西”的活动在除法教学中起的是“引子”的作用。通过“分东西”，引出除法的含义，导向对两种除法形式及其和乘法关系的理解，提高学生进一步分析更复杂的数量关系的能力。
在没有乘法概念支撑的情况下，“分东西”不是引子，而成了除法本身。教学活动始于分、止于分，中间也是分，直到全部内容结束，在数量关系的认识层面上，几乎原地不动。而除法和乘法的连接，仅靠“用乘法口诀求商”来维系。下面用人教社的两套教材作个比较。
年人教版《算术》课本第三册“表内除法”单元开始的时候，第一个“分东西”的活动孕伏着等分除概念——“把一个数平均分成几份”：
例1用“平均分书”的活动，引出等分除形式，除法算式的写法、各项的名称和算式的读法，以及求得数的办法。
例2用图示和文字说明等分除和乘法的关系。含两个题：1）已知每份木块有6块（被乘数），求2份（乘数）木块一共有多少。2）把12块木块（乘法运算的得数）平均分成2份，求一份是多少。在重温学生已经学过的乘法概念的基础上，导出等分除概念，揭示等分除和乘法的具体关系，也从侧面为例1所说的除法求得数的方法提供证明。
年人教版《算术》接着例1、例2的是另外七个例题和五个练习单位，用等分除概念教授和练习“除以2、3、4、5”。这些例题和练习里既有单纯运算题，也有强调等分除概念的看图写算式、文字题、应用题等。另外还一次一次地安排了填空题，帮助学生认识等分除的商在乘法算式里的位置：
当学生建立起了明确的等分除概念之后，课本再推出另一个活动图示题“分小棒”，引入包含除概念——求一个数里包含几个另一个数：
例10“分小棒”活动所需要的运算技能，是学生刚学会了的“除以2，3，4，5”，但是它孕伏了新的概念：包含除。紧接着，例11提出“12里面包含几个3？”用更大的数字和更抽象的图示，激发学生进一步的思考。两个例题前后呼应，明明白白地交代出包含除的特点，也顾及到包含除的难点。在这两个例题之后，开始“除以6，7，8，9”的教学。练习里的概念题以包含除为主，夹以部分等分除题和乘法题。在相互参照中，一方面为学生建立清晰的包含除概念提供切实的保障，另一方面提供更多的机会，让学生进一步体会等分除、包含除和乘法这“两数之积”数量关系的三个侧面。
最后，课本用两个例题一个单位的练习，学习“乘除混合”，作为“表内除法”单元的结束。整个单元共十九个例题十三个练习单位，层层递进，一气呵成，有理有利有节。而其根本，正在于乘法概念的明白、明了。
下图是人教版第四册引入表内除法内容的“分东西”活动，三个例题，例1介绍“平均分”这个术语，例2、例3相继介绍了等分、包含两种分法。
以上截图，其实反映了《课标》之后我国小学数学教材处理“表内除法”内容的几个共同特征：
首先，不是把除法概念建立在乘法概念的基础之上，不揭示除法和乘法是同一个数量关系的不同侧面，而是另起炉灶，把除法的含义表述成“平均分”，以此涵盖两种不同的“分法”。这样的处理，使除法脱离了算理体系，仅仅是一种独立的运算而已。
第二，“分东西”的活动，不是作为进一步深入学习除法运算和含义的引子，而几乎成为“表内除法”教学内容的全部。课程几乎每一页上都有图示的“分”的活动。大部分题目不需要通过运算，不需要列出算式，只要通过在图示题上画圈圈，就能得到答案。把学生产生对除法意义的理解，寄希望于图示。没有对数量关系的探究，很少归纳到表达数量关系的算式。“表内除法”课程内容从“分东西”开始，以“分东西”结束，在逻辑思维和抽象思维层面上，呈“原地踏步”状态。
第三，“用乘法口诀求商”只是当作求得答数的工具。在概念上，除法和乘法没有关系。因此，除法学习既不能得到乘法意义的支持，也不能反过来加深学生对“两数之积”这一基本数量关系的认识。
由于取消了被乘数和乘数的区别，等分除和包含除失去了概念上的“根”，“两种分法”成为孤立的活动，不导向对数量关系认识的深化。所以，除法意义的建立既失去了算理基础，也丧失了加入算理体系、成为分数除法支撑的可能性。
四.分数乘法算理混乱
“被乘数×乘数=积”这一乘法概念的算式表述，一方面支撑着整数除法的算理，另一方面还支撑着分数乘法的算理。分数，是小学算术整数四则运算之后引入的新数集。引进分数后，原来算理体系中加减法的意义不变，但是乘法含义需要扩充和修订。
《课标》之前，所有小学教材里都讲得很明确：
“分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同数的和的简便运算。”
“一个数乘以分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。”
由于《课标》在年取消了被乘数和乘数区别，与之相关的“乘以”和“乘”的区别也随之取消。“乘以”一词在中国课程里消失二十来年了，以上表述已不易为当下许多读者所准确理解。笔者将其“翻译”如下（请注意本文里的“乘数”，是区别于“被乘数”的）：
当乘数是整数时，乘法的意义不变，即求几个相同数的和。
当乘数是分数时，乘法的意义需要修订，即求一个数的几分之几。
请看以下图示：
也就是说，只有当乘数是分数的时候，乘法的含义才需要扩充。更准确地说，只有当乘数是分数的时候，乘式才具备分数乘法的含义。判断一道乘法算式是不是具备分数乘法的含义，不是看乘式里是不是有分数，而是要看乘数的位置上是不是分数。至于被乘数位置上是不是分数，无关紧要。
很显然，如果没有被乘数和乘数的区别，分数乘法的算理是表达不清的。求3个1/2是多少，可以写成1/2+1/2+1/2，整数乘法意义是涵盖的，不需要修订。但是，如果求3的1/2是多少，就不能写成连加算式了，乘法含义就需要修订了。
河北省临西县摇鞍镇校区教师进修学校王凤霞和张元凯两位老师在文章中指出：
《新教材》在教学“分数乘法的意义”（小数乘法的意义与分数乘法的意义基本相同）时，求5个9/10的和是多少？就只列式为9/10×5，而不列式5×9/10。既然《新教材》明确规定“分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同”，那么求5个9/10的和也应该列式5×9/10，要不又怎么叫做“与整数乘法的意义相同”呢？同样，9/10×5既可以表示5个9/10的和，又可以表示5的9/10是多少？而《新教材》又规定：“9/10×5的意义只能说成是‘表示5个9/10是多少’”。前面讲的是一个加法算式表示两个不同的乘法算式，一个乘法算式表示两个不同的加法算式，后面又是加法算式与乘法算式只能一一对应，前后矛盾，难圆其说。
废除了被乘数与乘数的区别，想来教材编写者们面对这个问题也是十分无奈与头痛的。
五.分数除法概念不清
分数乘法的意义混乱，势必影响分数除法的意义。
除法是乘法的逆运算。与整数乘法对应的有等分除和包含除两种除法，在分数中同样如此。由于当乘数是分数的时候，乘法的含义有了修订，所以与之相应的等分除和包含除的含义，也需要修订。
整数与分数的等分除含义对照
和整数乘法含义相应的等分除的表达是：一个数平均分成若干份，每份是多少？
和分数乘法含义相应的等分除的表达是：已知一个数的几份之几是多少，求该数。
整数与分数的包含除含义对照
和整数乘法含义相应的包含除含义是：求一个数里有几个另一个数，或求一个数是另一个数的几倍。
和分数乘法含义相应的包含除含义是：求一个数是另一个数的几分之几。
以乘法算式6×1/3=2为例：
请留意乘数在逆运算中的位置。当乘数在除数的位置上参与运算的时候，是等分除，当乘数在商的位置上作为被求的未知数的时候，是包含除。
当除数是分数，并且提问是求相当于该分数的单位1的值是多少的时候，是分数含义的等分除。当被除数小于除数的时候，是分数含义的包含除。当然，这些对整数除法含义加以修订的分数除法的含义，再不能用“连加”和“分”的比方来解释。
无论如何，离开了被乘数与乘数概念的区别，分数除法的含义也是说不清的。而整数除法的含义不清晰，更使得学生分数除法的理解少了另一必要的支撑。
十多年前，美国小学数学教育界流传着一道新加坡小学五年级的应用题，人们感叹几乎没谁能够像新加坡五年级小学生那样列出算术式算出得数：
陈太太做了一些点心去卖。上午卖了3/5，下午卖了剩下的1/4，上午卖出的点心比下午多个，她做的点心一共有多少个？
这道分数除法应用题，不知废除了被乘数乘数区别二十年之后，今天我国小学生能否不靠画图，不用代数式，列出算术式子表达其中的数量关系求得答案。
六.乘法交换律遭遇窘境
取消被乘数与乘数的区别在乘法交换律教学上造成的尴尬，有多篇文章提到。江苏射阳县新洋农场学校徐雁老师在文章中将之比喻为“画蛇添足之举”。作者写道：
人民教育出版社小学数学教科书二年级上册乘法的初步认识中指出：“3+3+3+3+3+3=18可以用乘法表示：6×3=18或3×6=18”，而在四年级下册乘法运算定律中却又举出例子4×25=（人），25×4=（人），让学生观察发现4×25=25×4，从而总结出“乘法交换律”这个运算定律，这完全是多余的。既然“25和4相乘可以写成25×4，也可以写成4×25。”，那么25×4必然等于4×25，这个结论根本不需要计算就可以知道，除非自身与自身不等。所以，乘法交换律不再是个运算定律，自然没有必要作为个独立的内容来学习。
乘法交换律是算理体系重要基石之一。取消被乘数与乘数的区别在乘法交换律教学上所造成的尴尬，其实是关上了学生对乘法交换律意义的进一步深入理解的大门。
七.难点集中，重点却被淹没
“重点突出、难点分散”，向来是我国小学数学教学的宝典之一。徐雁老师在她的文章里进一步指出：
取消乘数和被乘数区分，乘法的意义中包含了乘法交换律，二者不可分开。教学中，学生认识乘法时，既要理解乘法的意义，又要理解乘法交换律，原来分散在不同年级的难点集中起来，增加了课堂教学难度。曹培英老师曾作过教学实验，得到这样的结论。
为了减低学习难度而取消被乘数和乘数的区别，却造成了“难点集中”的后果，这怕是人们始料所不及的吧。
八.算理不成体系，不利于学生自学
“取消被乘数乘数区别”导致小学算术算理体系的瓦解甚至垮塌，教材所表述的整数和分数乘、除法的算理中，有前后矛盾的（比如因数的定义，高年级和低年级不一致），有逻辑不清的（比如用“平均分”涵盖等分除和包含除），有似是而非的（比如乘法算式的写法），也有含义模糊的（比如分数乘除法定义）。这样的算理上的混乱，严重影响学生对整数、分数四则运算法则和定义的理解，难以做到举一反三。在不明算理的情况下，为应付考试就只能加大练习量，依靠在大量刷题过程中熟悉各种题型以求得高分。
笔者小学的数学教师谢白雄老师，已年届八十多岁。他在数学教学领域活跃了六十余年，教过小学数学、中学数学，在教育学院做过二十多年教研工作，还兼任过师范学院数学教学法教师。谢老师关于小学数学的理念是“百日筑基，理通法随”。理的境界有高低，格局有大小，然而“通”是首要标准。只有算理说得通，各项运算法则和解题方法才能一通百通。“通”，是评价“理”之好坏的重要标准。在一门好的课程里，人们正是顺着理的通道，学习知识，甚至在没有老师的情况下也可以自学。而取消被乘数乘数的区别，恰恰是使得小学算理不通了。学生，乃至教师，都自学无门了。
小学数学教学的目的，不是为了培养大数学家，而是为了让广大即使不可能成为大数学家的普通青少年，受到基本的良好的逻辑思维训练。完善的算理体系，正是逻辑思维训练的根本保障。理之不通，法将何随？
九.“因数×因数=积”作为乘法意义的算术表述是不合适的
本文开头展示的人教版小学《数学》二年级把把乘法算式表述写成“因数×因数=积”，这样的表述还出现在其他版本的教材上。必须指出，在向小学生引入乘法运算时，用“因数×因数=积”作为乘法的算式表述是不合适的。理由主要有二，在杭州师范学院初等教育学院戎松魁教授的文章都有提及，以下转引戎教授的论述：
第一，“因数”一词在课本中出现时前后涵义不一致：
“因数”这个名词在新教材中有两种不同的涵义。“因数”这个名词最早出现在二年级上册“乘数的初步认识”这一教学内容中，在教科书第47页上册列出算式5×3=15和3×5=15后，指出3和5都叫因数，15是积，“×”叫乘号。此后，凡是出现在乘号两边的数，不管是整数还是小数、分数都叫做“因数”。……然而，在五年级下册“因数与倍数”这一单元中，“因数”又有了新的涵义。在这一单元中出现的“因数”必须是整数。在该册教材第12页上指出：“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数一般指的是整数（不包括0）”。
第二，把“因数”等同于“乘数”是不对的：
注释中规定：在算式3×5中3和5都是乘数（也可叫因数）。括号内的说明容易给人造成错觉，似乎乘数也可叫因数。其实“乘数”和“因数”是两个不同的数学概念。
什么是因数？简单地说，一个可以除尽另一个整数的整数，称为那另一个整数的因数。例如，3可以除尽12（或者说12可以被3除尽），3就是12的因数。2也可以除尽12（或者说12可以被2除尽），所以2也是12的因数。但是，3×2却不等于12。3自乘，3×3，也不等于12。所以，虽然“因数×因数=积”在某些特定的情况下里成立的，但是，作为小学算术里乘法意义的算式表述是不合适的。
十.“乘数×乘数=积”是不成立的
当前我国多数小学数学的教材中，采用“乘数×乘数=积”作为乘法的算式表述。必须指出，这个表述没有经过论证，在算理上是不成立的。
小学数学算理体系中乘法的算式表达“被乘数×乘数=积”（读作“被乘数乘以乘数等于积”或“乘数乘被乘数等于积”），植根于人类千百年的商业活动和日常生活，又在十九世纪末融入了小学算术算理体系，成为其中的一个重要部分，并且为全世界所公认、所使用，对小学数学教育的贡献，不言而喻。
我国首次翻译欧几里得《原本》的徐光启，在《几何原本杂议》一文中指出该书有三至、三能：“似至晦，实至明”，“似至繁，实至简”，“似至难，实至易”；“综其妙在明而已”。”算术的算理体系正是做到了这“三至、三能”的。
而“乘数×乘数=积”则恰恰相反，看上去“至明、至简、至易”，实际上却是“至晦、至繁、至难”。究其根本，乃是不“明”。明了的知识，学生即使暂时不完全懂，记住了，遵守了，终有一天会恍然大悟，领会其中奥妙。
被乘数和乘数：位置到底怎样放？
有人指出，在美国小学教材里，乘数是写在前面的。既然美国教材里可以把乘数写在前面，我们为什么不能？是的，美国教材里是把乘数写在前面的。然而其前提是：乘数必须写在前面，而不是既可以写在前面，也可以写在后面。美国不是“废除被乘数和乘数的区别”，而是统一地改变了被乘数和乘数的位置。
这个改变发生在上世纪初进步教育运动中。在英语里，表达“乘”的意思有一个比multiply更简短的词：time。前者有四个音节，后者只有一个音节。前者是书面语，后者是口语。在进步教育运动中，为了方便小读者，一些儿童书上开始出现用time取代multiply。不料问题来了：把3个5说成3times5虽然不错，可是很自然地，乘数就出现在了被乘数的前面。如果继续按照传统的把被乘数写在前面的规定，低年级学生口里说的是3times5，手上却要写成5×3，造成不小的困扰。于是就重新规定，在乘法算式里一律把乘数写在前面，把被乘数写在后面，成为“乘数×被乘数”，读作“乘数乘（笔者注：不是乘以）被乘数”。这种写法逐渐成为美国小学教材里的惯例。不过，直到年，还有算术教材坚持传统的写法。无论把乘数写在前面还是把被乘数写在前面，两个概念的区别，是从未被否定过的。
美国教育家Buckingham在其重要的著作《小学算术：意义与实践》一书中写道：“最重要的是：每个人都必须采用一种或另一种约定并始终如一地遵守它。”（绝对不能既可以这样，也可以那样）。
美国如此统一改变被乘数乘数的位置，有利有弊。利在于让低龄儿童更容易了解整数乘法的意义，弊则在于难以过渡到分数乘法的意义。因为time一词有“次”的意思，比如，我去过北京3次，可以说成IhavebeentoBeijing3times.在整数里，统一规定把乘数写在前面，把3个5写成3×5，读作3times5，是通的。可是在分数里，求5的1/3写成1/3×5，读作1/3times5，就不通了。因为“次”必须是完整的，最少是1次。“我去过北京1/3次”，就说不通了。
改变被乘数和乘数在算式里的位置这一做法，给美国的分数乘除法教学带来很大的困扰，以至于直到现在，分数乘除法的含义只能用画图或线段来展示，而不能用已经学过的算理知识来推导和证明。这也使学生在分析比较复杂的数量关系时失去重要的思维工具。
在此笔者想重复一遍：虽然美国教材里和我国不同，把乘数写在前面，但是从头到尾是一致的。美国不是“废除被乘数乘数的区别”，而是统一地改变了被乘数和乘数的位置。这一改变的原因和利弊，值得我国小学数学教育决策者认真掂量。
也有人指出，在数学学科里还有其他关于积的定义，比如笛卡尔积(CartesianProduct)、矩阵乘法(Matrixmultiplication)、向量乘法(Multiplicationofvectors)，等等，都没有提到被乘数和乘数。事实上，数学有不同的分支，所以有不同的积的定义。小学数学算理体系定义的是整数和分数四则运算的“算术积”，甚至还没有到达用字母表示的“代数积”层面。
还有人问，算理体系里一级级的“台阶”能不能跳过？答案是，对于少数在数学方面天分特别好的学生是可以的。历史上不少数学学者，就是学了四则运算法则就直接研究代数几何等学科的。但是，在数学方面天分特别好的学生毕竟是极少数。对于绝大多数学生来说，按部就班地弄通算理，“理通法随”地学习才是最有效、最值得的。“凡有所学，皆成性格”，如果学习的知识是混乱的，那么所形成的思维质量对学生终身产生的影响，就令人十分担忧了。
算术的乘法定义是算术算理体系中的一部分。这个算理体系，把从前在商用算术中曾经各自为政的四则运算法则，用具有数学学科特点的逻辑联系起来，构成了一个自洽的、有数学特征的学科。在计算器广泛使用、四则运算的操作日益为计算器所取代的今天，算理体系对学生逻辑思维训练的价值，正在更加突显出来。
结语：算理体系，还要不要？
综上所述，乘法概念的算式表述“被乘数×乘数=积”，是小学数学算理体系的“承重墙”。这座“承重墙”被打掉，意味着整数和分数的乘法、除法、乘除混合运算、四则混合运算等重要内容领域将概念不清，思路混乱，将导致整个算理体系的瓦解甚至垮塌。
令人略感得欣慰的是，《课标》颁布至今虽已二十年出头，我国有些第一线教师，还在支撑和维护着已然瓦解的算理体系。东北师范大学的吴琼等教授的文章里提到一个实例，说的是一位三年级的教师在课堂上对“被乘数乘数位置的新规定”采取“回避的方式”，她不能否定它，却用传统的位置规定“偷梁换柱”。这样的做法，有利于教学的便利和概念的清晰，在教学第一线想来不在少数。可是，由于《课标》的规定，这样的支撑不能光明正大地进行。而且，随着时间的推移，有能力作这样支撑的一线教师将会越来越少。
回到文章开头提到的反对区别被乘数乘数位置的舆情。笔者宁愿相信所有的家长都真心希望孩子们学到好的知识，所有的专家都是为了学生的健康成长。可是，为了一部分学生暂时地提高分数，而让全体学生失去弄通算理的机会，值得吗？被乘数乘数的区别废除了，学生的负担果真减轻了吗？没有在举一反三、以少搏多中领悟的乐趣，没有在尝试和失败中感悟的经历，以大量刷题为提高考试分数主要手段的学习，真能提高学生对数学的兴趣吗？愿读者给出自己的判断。
《课标》“废除被乘数乘数区别”的决定带给我们的根本问题是：中国的小学数学教育，算理体系还要不要？《课标》废除了被乘数乘数区别之后，从理论上讲，随着整数乘法算理不清，连带着导致了整数除法、分数乘法、分数除法、混合运算等算理不清，我国小学数学算理体系其实已经垮塌了。这难道不是比某一套教材出现“问题插图”更严重得多的问题吗？
附：写在结语之后
阅读本文后教师和家长比较关心的问题可能是：在当前教材不变的情况下，我们怎么办？以下提出几点，提供给认可本文观点的教师和家长参考：
1)帮助学生避免先入为主的思维混乱在“表内乘法”开始部分（绝大多数教材安排在秋季二年级第一学期）介绍乘法意义时，要尽量帮助学生避免先入为主的思维混乱。当前所有版本的教材都告诉学生，同一个数连加几遍的加法算式写成乘法算式时，可以写成“加数×加数的个数”，或“加数的个数×加数”（比如5+5+5可以写成5×3，也可以写成3×5）。而且都设计了类似以下的练习题，来强化这一点。以人教社版二年级上册第48页上的练习为例：
教师和家长可以向学生强调，“加数×加数的个数”的写法是更重要的。在练习题里，建议教师要求学生只写“加数×加数的个数”一种，同时提醒学生，万一在考试时要求他们写两种，把顺序颠倒过来就行。这样的话，既不会影响考试成绩，又能帮助学生在刚接触到乘法时避免先入为主的思维混乱，说不定还会给教学平添一份小幽默呢。建议家长留意一下孩子的老师有没有跟孩子说明这一点，如果没有，自己给孩子补上。
2)守住“被乘数×乘数=积”的“亲民版”。“每份数×份数=总数”以及它的除法算式：总数÷份数=每份数（等分除概念）；总数÷每份数=份数（包含除概念），是“两数之积”基本数量关系整数阶段算式表述的“亲民版”，为我国许多小学数学教师所熟悉，其他还有一些数量关系的表述，比如“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”等，在概括水平上都稍低一些。教学中如果可能向学生揭示它们和“每份数×份数=总数”的关系，有助于学生抽象水平的提高。在被乘数和乘数的区别被废除的情况下，若能守住“每份数×份数=总数”并且加以强调，也能多少支撑起整数乘法和除法的概念。有条件的家长，不妨对孩子在这方面加以点拨。
3)无论哪个年级，都要鼓励和要求学生用列算式表达解题思路。当前教材中活动图示题比较多，强调学生“说出”解题的思路并求得答案。而课本上的算术式，有许多是已经列出大部分，只要求学生填某一部分的。其实，“用自己的语言说”并不等于“用数学的语言说”，用填空的形式把算式补充完整，也不等于完整地列出一个算式。有条件的话，还是要鼓励和要求学生学习完整地列算式来表达解题的思路，这样的训练，当也能为“百日筑基”添土加石吧。
4）对孩子的教材和教师教学要“扶”不要“批”。本文指出了《课标》发布后我国小学教材中的一个重要问题。笔者相信，这是我国小学数学教育前进道路上的一个坎，它的出现有其必然性。对于现行的教材和任教老师，建议家长们在孩子面前千万不要排斥和诋毁，不要流露出不满。因为这样会给孩子造成更大的困扰。您可以仔细阅读文中提到的关于您孩子正在或将要学习的内容，对照孩子使用的课本，帮助他们注意到重要和关键的内容。比如分数乘法，设法让孩子注意到“求一个数的几分之几用乘法”；反过来，作为逆运算的分数除法，就是“已知一个数的几分之几，求那个数”。
总之，厘清算理并不是做加法，让学生学更多的东西。恰恰相反，是要做减法，去掉多余的，抓住关键的。一旦目标明确，相信一线教师和有心的家长会有许多好办法。
鸣谢：邱学华、方运加两位老师帮助寻找文献资料。
参考文献
1.中华人民共和国教育部：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）北京师范大学出版社，
2.李润泉张卫国卢江：小学数学教材60年回望《中华读书报》（年9月15日08版）
3.范伟昌：分清被乘数和乘数，究竟有什么意思？（见互联网“百度文库”）
4.范伟昌：由取消乘数被乘数引出的——因数的困惑（见互联网“百度文库”）
5.卢杰：关于取消乘数被乘数区别的思考《中小学数学小学版》8年第5期
6.程继德，陆晓蓉：试谈乘法定义如何改——读《取消被乘数和乘数的区别弊大于利》有感《中小学数学小学版》8年第3期
7.王凤霞，张元凯：取消被乘数和乘数的区分，弊大于利《中小学数学小学版》7年第11期
8.徐雁：小学数学中区分被乘数与乘数有无必要？《中小学数学小学版》7年第1期
9.Buckingham,B.(/).Elementaryarithmetic:Itsmeaningandpractice.Boston:GinnandCompany.
10.吴琼，高夯，韩继伟：乘法概念教学的教育价值——由取消“被乘数”和“乘数”引发的思考《数学教育学报》第22卷第6期，年12月
11.徐光启（年-年）：《几何原本杂议》
作者简介：
马立平：年从上海到江西农村插队落户，在那里成为民办教师。后考取华东师范大学教育硕士研究生，师从著名教育家刘佛年。年留学美国，获斯坦福大学教育学院课程与师资教育博士，学术著作《小学数学的掌握与教学》在美国数学教育界引起轰动，并以英、中、韩、西、葡等多种语言出版。曾任卡内基教学发展基金会资深研究员、美国总统数学决策顾问团成员。
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