每个正实数都有一正一负两个平方根。只要明确了你想要的根是正的还是负的，就很容易将它们区分开来。这意味着，对于所有的非负实数（0和正实数），可以明确定义平方根函数：在非负实数域上定义的正平方根函数图对复数开平方就没有这么简单了。在此之前，我们先来看看欧拉公式：在取平方根时，欧拉公式提供了表示复数的简便方法。欧拉公式首先要记住，复数z可以写成x+iy，这里的，x和y是实数。复数可以与直角坐标系中的点一一对应。用笛卡尔坐标平面上的一个点来表示复数欧拉公式告诉我们，z也可以写成(r,θ)是平面上z点的极坐标。其中r是z点到原点(0,0)的距离，θ是连接z点与原点的直线与x轴所成的角度（逆时针标定）。用极坐标平面上的一个点来表示复数在本文中，我们将应用这种方法来表示复数。求平方根也就是求这个数字的1/2次幂，因此用指数表示复数会更加方便。继续之前，我们要注意两件事情：首先，对于任意正实数r和角度θ，都有：即角度增加2π后等于本身，因为一个点绕原点转一圈后仍是这个点。其次，我们也可以用来表示复数，这里的θ是正数。因为我们可以将这个复数想成是一个距离原点r的点，从x轴正半轴出发，向顺时针，而不是逆时针方向旋转了θ角。负角可以解释为从正x轴沿顺时针方向测量的角度取平方根对一个复数求平方根时，我们又面临着两个选择，就像我们之前对实数求平方根的时候一样。第一个选择是：让我们来检验一下是否成立：这是成立的。第二个选择是：检验一下：同样是成立的。z（蓝色圆点）的两个平方根（红色圆点）其中和两个表达式称为平方根的两个支（branches）。定义函数我们从非负实线上开始定义平方根函数f(z)。我们首先要确保对于这条非负实线上的实数x，其函数值对应正平方根。这意味着我们需要从上面的两支中选择一支：当θ=0时，如果我们把定义域从非负实线向外扩展一块区域，会怎样呢？比如说我们定义：当-0.4≤θ≤0.4时，下面的Geogebra小程序说明这个定义没有问题。这个函数是连续且定义明确的：当使用滑块改变r和θ时，您会看到（以红色圆点表示）随着（以蓝色圆点表示）的变化而不断变化。点击图片可以在原文中进行互动为啥不能用这个方法定义整个平面呢？设想一下，从上方和下方接近负实线的某个点时，会发生什么？我们可以使点的θ从0变到π，来看看从上方（逆时针）靠近时的情况。由于我们的函数是：f(z)的值会靠近而从下方（顺时针）接近时,我们可以让θ从0变到-π，由于函数的形式是f(z)的值现在会接近因此，如果将函数的形式选为那么在整个复平面上，它会在负实线上不连续。当z从上方接近负实线时，函数值趋向，而当从下方接近负实线时，函数值趋向。下面的Geogebra小程序就直观地体现了这一点。拖动滑块可以使θ在-π和π之间移动。点击图片可以在原文中进行互动这种不连续的现象，不仅仅是因为我们“选错了”支。如果我们把函数定义为即放在另一支上，不连续的现象仍旧存在。总之，复数平方根是一个多值函数，无法在整个复平面上以使其连续的方式明确定义。新的平面然而，有一个十分巧妙的方法能让我们绕开这个问题：撇开平面，创造一个新的、能够让我们以一种连续的方式定义复平方根的面。我们首先取两个复平面，然后把它们沿着负实轴切开。在其中一个面上我们定义另一个面上定义现在，我们将第一个被切了一刀的平面的顶边与第二个面的底边粘起来，反之亦然（想象起来有点困难，但坚持一下）。在生成的曲面（称为黎曼曲面）上，我们便可以明确且连续地定义平方根函数了。为了阐明这一点，让我们先看一下第一个复平面上的点，其中0θπ。当θ从0增加到π时，就接近了切口的上边缘，函数值趋近于。现在看第二个复平面，此时-πθ0，令θ从0变到-π，这意味着我们正在接近第二个平面的切口的底边。因为在第二个复平面上函数定义是，当θ趋近于-π时，函数的值趋近于：这时，第一个平面的上边缘与第二个平面的下边缘相接，因此函数在这个新形成的曲面上是连续的。这是由切割和粘合形成的黎曼面的示意图：以三维方式画出的定义复数平方根的黎曼曲面。若围绕该表面上的0点（位于正中心）一直走，你会在上方和下方的纸面上各绕一圈尝试在三维空间创建此曲面会遇到问题：一旦将一个平面的顶边与另一个平面的底边相粘合时，剩下的两个空闲边缘则会位于新曲面的不同侧。将这些自由边缘粘合在一起的唯一方法是让表面穿过自身。因此正如上图所示，这个黎曼面的三维表示是自相交的。要获得不自相交的表面，则需要进入第四维。复数平方根不是唯一的多值函数。另一个例子是复对数，它实际上有无限多个值。在这种情况下，定义它的黎曼曲面是一个美丽的无限延伸的阶梯（下图画出了有限的一部分）。定义复对数的黎曼曲面作者：MarianneFreiberger翻译：xux审校：zhenni原文链接：
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