矢量函数对自变量求导数和求积分是运动学最常见的数学运算。
在讨论粒子沿直轨道运动时，我们用一根沿着运动轨迹的数轴来标记粒子的空间位置。其实，这并不是必须的，我们也可以用两根相互垂直并与运动轨迹共面的数轴来标记粒子的空间位置。这样选择的两根数轴构成一个平面直角坐标系，习惯上，把其中一根数轴沿平行于水平方向从左向右画出，称之为
轴，另一根数轴则竖直向上画出，称之为
轴，它们的交点
就是这个坐标系的原点。在这样一个坐标系中，一个粒子的空间位置
用它所处的位置点在两根数轴上的投影
表示，称之为
点的坐标。为了简单起见，我们直接将这个坐标写成
。当粒子的位置
发生改变时，它的两个坐标同时发生改变，这在形式上就好像有两个“粒子”同时各自沿着一根数轴运动一样。于是，使用一根数轴来描写运动的处理方法就可以借用过来。
这种情况还可以进一步推广，用三根任意指向，但是相互垂直并且相交于一个点
上的数轴来描写运动。这样的三根数轴构成一个三维直角坐标系，也被称为笛卡尔坐标系，三根数轴的交点就是这个坐标系的原点。笛卡尔坐标系有一个被称为“手性”的概念，如上面第二个图画出的坐标系被称为“右手系”，判断的准则是：张开右手的手掌，四指并拢且形成与大拇指垂直的姿势，将并拢的四指指向
轴的正方向，掌心朝向
轴的正方向，如果大拇指指示的方向是
轴的正方向，这个坐标系就是一个“右手系”。在一个右手系中，将任意一根坐标轴反一个方向，就得到一个左手系。请结合上述说明，给出一个左手系的判断准则，由此不难明白，“右手系”与“左手系”这两个名称的来由。由于人类中的绝大多数都是“右撇子”，因此，一般约定使用右手系。
在笛卡尔坐标系中，粒子的空间位置用它在三根坐标轴上的投影
表示，称为粒子位置的坐标，简记为
。当粒子的空间位置发生改变时，它的三个坐标同时发生改变，就好像有三个“粒子”同时各自沿着一根直轨道运动，它们的速度与加速度
就是粒子的运动速度与加速度在三个坐标轴上的投影。
上述描写方法不仅适用于粒子沿直轨道运动，也适用于粒子的运动轨道是一条任意形状的空间曲线。不过，如果我们在研究问题时，沿用这种陈旧的表示方法，那么，写出来的公式将会相当臃肿，并且不利于对问题进行理论分析。由于这个原因，人们发明了一种被称为“矢量”的数学工具，用来描写任何既有数值又有方向的物理量。“矢量”是物理学家的习惯叫法，数学家习惯把它称为“向量”。在正式的出版物中，矢量一般用正写的黑体字母，比如说A表示，而在手写中或一般的打印件中，矢量则用在普通斜体字母上方加一个箭头符号，比如说来表示。关于向量的运算问题，应该在数学课程中有详细的讨论。在这一小节中，我们仅就涉及运动问题的矢量运算法则做简要的说明。
在用矢量的方法描写运动时，我们将遇到一个新的数学问题：一个矢量函数对自变量求导数。关于这个问题，我们仅限于在笛卡尔坐标系下做简要的说明。在笛卡尔坐标系中，引入三个分别沿各自坐标轴并指向坐标轴的正方向的单位矢量所谓“单位矢量”指的是长度等于一个计量单位的矢量，用在字母上方加一个小尖尖符号来标记。任意一个矢量A可以写成这个矢量在三根坐标轴上的投影矢量的合成：
这个表述形式称为矢量的解析表示法，
是矢量A在三根坐标轴上的投影，称为A的分量。如果矢量A是某个自变量，比如说
的函数，那么，这个函数关系就表现为它的三个分量是
的函数。当我们要对A求导数时，由于在笛卡尔坐标系中三个单位矢量不随时间改变，因此必定有
结果发现，对一个矢量求导数转化成对它的三个分量求导数。一个相关的问题是：矢量函数对自变量求不定积分。与求导数的情况类似，由于单位矢量不随时间改变，因此
也就是说，矢量函数对自变量求不定积分可以转化成它的三个分量对自变量求不定积分。假定
各自有一个原函数
，根据不定积分法则
其中F是A的一个原函数，C是与不定积分对应的不确定的常矢量。
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