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每个正实数都有一正一负两个平方根。只需明白了你想要的根是正的仍然负的，就很简捷将它们区隔开来。这象征着，关于全数的非负实数（0和正实数），能够明白界说平方根函数：
在非负实数域上界说的正平方根函数图
对复数开平方就没有这么简捷了。在此以前，咱们先来看看欧拉公式：在取平方根时，欧拉公式供应了展现复数的简短办法。
欧拉公式
首先要记着，复数z能够写成x+iy，这边的，x和y是实数。复数能够与直角坐标系中的点逐一双应。
用笛卡尔坐标平面上的一个点来展现复数
欧拉公式奉告咱们，z也能够写成
(r,θ)是平面上z点的极坐标。此中r是z点到原点(0,0)的间隔，θ是连结z点与原点的直线与x轴所成的角度（逆时针标定）。
用极坐标平面上的一个点来展现复数
在本文中，咱们将运用这类办法来展现复数。求平方根也即是求这个数字的1/2次幂，因而用指数展现复数会更为便利。
连续以前，咱们要注重两件事宜：首先，关于肆意正实数r和角度θ，都有：
即角度添加2π后即是自己，由于一个点绕原点转一圈后还是这个点。
其次，咱们也能够用
来展现复数，这边的θ是正数。由于
咱们能够将这个复数想成是一个间隔原点r的点，从x轴正半轴启程，向顺时针，而不是逆时针方位回旋了θ角。
负角能够表明为从正x轴沿顺时针方位衡量的角度
取平方根
对一个复数求平方根时，咱们又面对着两个抉择，就像咱们以前对实数求平方根的时分相同。
第一个抉择是：
让咱们来查验一下是不是创做：
这是创做的。
第二个抉择是：
查验一下：
相同是创做的。
z（蓝色圆点）的两个平方根（赤色圆点）
此中庸两个抒发式称为平方根的两个支（branches）。
界说函数
咱们从非负实线上着手界说平方根函数f(z)。咱们首先要保证关于这条非负实线上的实数x，其函数值对应正平方根。这象征着咱们须要从上头的两支中抉择一支：
当θ=0时，
假设咱们把界说域从非负实线向外平添一齐地区，会何如呢？比方说咱们界说：
当-0.4≤θ≤0.4时，
上面的Geogebra小程序阐述这个界说没有题目。这个函数是接连且界阐述确的：当运用滑块改动r和θ时，您会看到（以赤色圆点展现）跟着（以蓝色圆点展现）的变动而不休变动。
点击图片能够在原文中举行互动
为啥不能用这个办法界说周全平面呢？遐想一下，从上方和下方逼近负实线的某个点时，会产生甚么？咱们能够使点的θ从0变到π，来看看从上方（逆时针）挨近时的情状。由于咱们的函数是：
f(z)的值会挨近
而从下方（顺时针）逼近时,咱们能够让θ从0变到-π，由于函数的形态是
f(z)的值如今会逼近
因而，假设将函数的形态选为
那末在周全复平面上，它会在负实线上不接连。当z从上方逼近负实线时，函数值趋势，而当从下方逼近负实线时，函数值趋势。
上面的Geogebra小程序就直觉地展现了这一点。拖动滑块能够使θ在-π和π之间挪移。
点击图片能够在原文中举行互动
这类不接连的形势，不单仅是由于咱们“选错了”支。假设咱们把函数界说为
即放在另一支上，不接连的形势仍然存在。
总之，复数平方根是一个多值函数，无奈在周全复平面上以使其接连的方法明白界说。
新的平面
但是，有一个特别精巧的办法能让咱们绕开这个题目：撇开平面，创做一个新的、能够让咱们以一种接连的方法界说复平方根的面。咱们首先取两个复平面，而后把它们顺着负实轴切开。
在此中一个面上咱们界说
另一个面上界说
如今，咱们将第一个被切了一刀的平面的顶边与第二个面的底边粘起来，反之亦然（设想起来有点艰难，但保留一下）。在生成的曲面（称为黎曼曲面）上，咱们即能够明白且接连地界说平方根函数了。
为了分析这一点，让咱们先看一下第一个复平面上的点，此中0θπ。当θ从0添加到π时，就逼近了瘦语的上边际，函数值趋近于。
如今看第二个复平面，此时-πθ0，令θ从0变到-π，这象征着咱们正在逼近第二个平面的瘦语的底边。由于在第二个复平面上函数界说是，当θ趋近于-π时，函数的值趋近于：
这时，第一个平面的上边际与第二个平面的下边际邻接，因而函数在这个新造成的曲面上是接连的。
这是由切割和粘合造成的黎曼面的示妄念：
以三维方法画出的界说复数平方根的黎曼曲面。若缠绕该表面上的0点（位于正中央）延续走，你会在上方和下方的纸面上各绕一圈
试验在三维空间创立此曲面会碰到题目：一旦将一个平面的顶边与另一个平面的底边相粘合时，余下的两个空隙边际则会位于新曲面的不同侧。将这些自如边际粘合在一同的独一办法是让表面穿过本身。因而正如上图所示，这个黎曼面的三维展现是自缔交的。要取得不自缔交的表面，则须要加入第四维。
复数平方根不是独一的多值函数。另一个例子是复对数，它实践上有无穷多个值。在这类情状下，界说它的黎曼曲面是一个柔美的无穷蔓延的路子（下丹青出了有限的一部份）。
界说复对数的黎曼曲面
做家：MarianneFreiberger
翻译：xux
审校：zhenni
原文链接：
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